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Équations Linéaires

Une équation linéaire est une équation du premier degré qui peut être écrite sous la forme ax + b = c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. Le terme "linéaire" fait référence au fait que le graphique d'une telle équation est une ligne droite.

Pour résoudre une équation linéaire :

1. Simplifiez les deux côtés de l'équation en combinant les termes similaires
2. Déplacez tous les termes avec variables d'un côté et tous les termes constants de l'autre côté
3. Divisez les deux côtés par le coefficient de la variable pour isoler la variable

Par exemple, pour résoudre 2x + 5 = 15 :

• Soustraire 5 des deux côtés : 2x = 10
• Diviser les deux côtés par 2 : x = 5

Les équations linéaires ont exactement une solution, sauf si elles représentent une contradiction (pas de solution) ou une identité (une infinité de solutions).

Les applications des équations linéaires incluent le calcul de distances, de coûts, de températures et de nombreux autres scénarios du monde réel où les quantités sont directement proportionnelles.

Équations Quadratiques

Une équation quadratique est une équation polynomiale du second degré qui peut être écrite sous la forme standard ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0.

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des équations quadratiques :

1. Méthode de Factorisation

Si l'expression quadratique peut être factorisée, nous pouvons l'écrire comme un produit de deux facteurs linéaires : ax² + bx + c = (px + q)(rx + s) = 0.

Par la propriété du produit zéro, soit px + q = 0, soit rx + s = 0, ce qui nous donne les solutions x = -q/p ou x = -s/r.

2. Formule Quadratique

Les solutions d'une équation quadratique ax² + bx + c = 0 sont données par :

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Le terme b² - 4ac est appelé le discriminant. Sa valeur détermine le nombre et la nature des solutions :

• Si b² - 4ac > 0, il y a deux solutions réelles distinctes
• Si b² - 4ac = 0, il y a exactement une solution réelle (une racine répétée)
• Si b² - 4ac < 0, il y a deux solutions complexes conjuguées

3. Compléter le Carré

Cette méthode consiste à réécrire l'expression quadratique sous la forme a(x + d)² + e, ce qui facilite la recherche des solutions.

Par exemple, pour résoudre x² - 3x - 4 = 0 :

• En utilisant la formule quadratique : a = 1, b = -3, c = -4
• x = (3 ± √(9 + 16)) / 2 = (3 ± √25) / 2 = (3 ± 5) / 2
• x = 4 ou x = -1

Les équations quadratiques apparaissent dans de nombreuses applications pratiques, notamment les problèmes impliquant l'aire, le mouvement des projectiles, l'optimisation et l'économie.

Équations Polynomiales

Une équation polynomiale a la forme a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ = 0, où n est un entier non négatif représentant le degré du polynôme et a₀, a₁, ..., aₙ sont des constantes avec aₙ ≠ 0.

Les équations linéaires et quadratiques sont des cas particuliers d'équations polynomiales de degrés 1 et 2, respectivement. Les équations polynomiales de degré 3 ou supérieur peuvent être plus difficiles à résoudre et nécessitent souvent des techniques spéciales.

Méthodes pour Résoudre les Équations Polynomiales :

1. Factorisation : Si le polynôme peut être factorisé, nous pouvons appliquer la propriété du produit zéro pour trouver les solutions.
2. Théorème de la Racine Rationnelle : Pour les polynômes à coefficients entiers, toute racine rationnelle p/q (sous forme réduite) doit avoir p divisant le terme constant et q divisant le coefficient principal.
3. Division Synthétique : Une méthode abrégée pour diviser un polynôme par un facteur linéaire (x - r), utile pour vérifier les racines potentielles.
4. Méthodes Numériques : Pour les polynômes qui ne peuvent pas être facilement factorisés, des approches numériques comme la méthode de Newton peuvent approximer les solutions.

Pour les équations cubiques (degré 3), il existe une formule cubique similaire à la formule quadratique, mais elle est beaucoup plus complexe. Pour le degré 4, il existe une formule quartique. Le théorème d'Abel-Ruffini prouve qu'il n'existe pas de formule algébrique générale pour les équations polynomiales de degré 5 ou supérieur.

Par exemple, pour résoudre x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 :

• Essayez de trouver une racine en utilisant le théorème de la racine rationnelle. Les racines rationnelles potentielles sont les facteurs de -6 : ±1, ±2, ±3, ±6.
• Test de x = 1 : 1³ - 6(1)² + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
• Donc (x - 1) est un facteur. Diviser par (x - 1) donne x² - 5x + 6.
• Factorisation x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
• Par conséquent, les solutions sont x = 1, x = 2 et x = 3.

Les équations polynomiales apparaissent dans de nombreux domaines, notamment la physique, l'ingénierie, l'économie et les graphiques informatiques.

Types Spéciaux d'Équations